破れたページはどこ？ 少ない情報から“鮮やかに謎が解ける”計算ミステリー

まずは答えの確認

A. 25ページ目と26ページ目

• 学習・教育

解説

① 本全体のページ数を推定する
問題文の「破れていないページ番号を合計すると15000」に着目して、1＋2＋3＋4＋5＋…の合計が15000より大きくなる場合を考える。

最後のページまでの番号の合計は、
「（初めのページ番号＋最後のページ番号）×ページ数÷2」で求められる。

最後のページ数が150だとすると、
・150までのページ番号の合計は
（1＋150）×150÷2＝11325
→ 15000にたらないので、本は150ページ以上あるとわかる。

・170までのページ番号の合計は
（1＋170）×170÷2＝14535

・180までのページ番号の合計は
（1＋180）×180÷2＝16290

→ 破れていないページ番号を合計すると15000なので
本全体のページ数は170ページと180ページの間と考えられる。

170ページ台の中で、条件に合いそうなところを調べると

もし173ページまであったら → （1＋173）×173÷2＝15051
もし174ページまであったら → （1＋174）×174÷2＝15225

破れていないページ番号の合計は15000なので、どちらの可能性もある。

② 破れて「消えた合計」を調べる
本来の合計から15000をひいて、消えたページ番号の合計（表と裏のページ番号の合計）を出して、消えた2つの数を求める。

173ページまである場合
15051−15000＝51
→ 破れたページ番号の合計は51

174ページまである場合
15225−15000＝225
→ 破れたページ番号の合計は225

③ 「紙の裏表」で判定する
本のページ番号は、ふつう「1枚の紙の表が奇数、裏が偶数」になっている。（1ページ目をめくると、裏が2ページ目）。
→ 破れた1枚のページは必ず、「奇数 → 偶数」の順番になる。

173ページまである場合
ページは連続しているので51を連続した数で表すと
51＝25＋26
奇数 → 偶数の順番なので1枚の紙としてありえる。

174ページまである場合
ページは連続しているので225を連続した数で表すと
225＝112＋113
偶数 → 奇数の順番なので1枚の紙としてありえない。

よって、正解は25と26の場合だと断定できるので、
破れたページは、25ページ目と26ページ目。

●まさしメモ
大学生の時にこの問題を見て、感動したのを覚えています。
問題文を見て「この情報量では絶対に求めることができない」と思ったら、こんな鮮やかなやり方で解けるなんて…！
これぞ感動する計算問題ですね！